On s’attarde sur chaque exemple à mettre en valeur l’efficacité de tels algorithmes mais d’en cerner également quelques limites (boucles infinies..). Certaines parties sont élémentaires, d’autres laissent davantage de place à l’initiative.

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Une introduction à quelques éléments de programmation (calcul, animation simple sous certaines conditions, modification d’image..) fera l’objet des séances 2 et 3. L’environnement utilisé sera celui du logiciel Open-Source Processing.

Les variations de l’angle des dièdres au sommet permet de conjecturer la valeur à choisir rendant l’aire totale de l’alvéole minimale (pour un volume constant).

L’interface permet de modifier l’angle du dièdre, la hauteur et le rayon de l’alvéole. Par défaut, le polygone de base est un hexagone régulier. On constate l’agencement possible des différentes alvéoles entre elles.

Il est maintenant possible de modifier le nombre de côtés de ce polygone de base. Où l’on constate d’ailleurs que l’hexagone est un choix plus que judicieux.

La démonstration sur l’existence de cet angle donnant une aire minimale est parfaitement accessible en classe de Première S et fera l’objet d’un document détaillé.

Une très courte vidéo présente succinctement l’interface.

Deux versions de l’interface en ligne sont disponibles : la première en (très) basse définition compatible avec l’ensemble des navigateurs web, et une deuxième en haute définition visible dans les navigateurs le supportant.

Le code source de l’application (sous Processing) est en téléchargement sur chacune de ces pages.

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Il est dans tous les cas possible de télécharger soit le code source (sous Processing) soit les applications exécutables sous Windows, MacOSx ou Linux.

UPDATE : Quelques vidéos des différents cas considérés sont en téléchargement sur l’espace partagé .

Une application simple mettant en valeur le comportement, stable ou non, de particules soumises à l’attraction de corps fixes. Cette étude s’inscrit dans le cadre d’un TPE de première S.

L’interface propose, pour le moment et pour faire simple, cinq cas de figures. Elle est utilisable en ligne : en haute définition ici ou en qualité très moyenne ici(pour la plupart des navigateurs internet).

1. Un système — 1 Soleil – 1 Planète : Où il s’agit de tester la fiabilité de la méthode numérique utilisée donnant la trajectoire d’une particule (une ellipse comme attendue).
2. Un système — 1 Soleil – 2 Planètes (les deux planètes ne s’attirent pas mutuellement) : Où l’on constate la stabilité d’un tel système. L’écart entre les deux planètes considéré initialement n’évolue pas de manière conséquente.
3. Un système — Deux soleils – Une planète : Où nous constatons que la trajectoire elliptique n’est plus vraiment de rigueur.
4. Un système — Deux Soleils – Deux planètes : Où l’on observe le caractère chaotique de ce système dynamique. Deux planètes de position et vitesse initiales extrêmement proches prennent rapidement une trajectoire totalement différente.
5. Un système — Un Soleil — Deux planètes : Mais cette fois, les deux planètes s’attirent mutuellement. Les trajectoires s’en ressentent manifestement.

A terme, l’interface proposera de davantage paramétrer les éléments caractéristiques de chaque particule mise en jeu (nombre de soleils – planètes, masse, vitesse…).

La méthode d’intégration numérique utilisée est celle de Verlet (Velocity). Un document présentant de manière détaillée les différentes étapes de calculs nécessaires à sa mise en place est en téléchargement :

L’application permet de mieux s’approprier le comportement dynamique du système en

1. observant graphiquement l’évolution de l’interaction proies-prédateurs
2. mesurant l’influence de chaque paramètre mis en jeu dans le système d’équations.

Il est ainsi possible de modifier chaque paramètre considéré dans les équations rendant compte du comportement individuel des proies ou des prédateurs mais également de leurs interactions mutuelles (pour plus d’informations sur le sens à donner à ces paramètres, lire la courte introduction dans l’article Proies-Prédateurs : modélisation simple).

Il est également possible de faire varier ces paramètres de manière « continue » pour mieux observer la déformation obtenue sur le graphique.

Un bouton « PLAY » met en valeur l’évolution du couple (proies, prédateurs) dans le repère du graphique. La vitesse de déplacement du point permet d’apprécier la dynamique du système.

La méthode numérique utilisée est celle de Runge-Kutta d’ordre 2. Les valeurs de N et h sont respectivement celles du nombre de pas effectués et de la taille de chaque pas. Elles sont également modifiables. Les erreurs commises par la méthode (pour h ou N trop grands) font parties des notions à comprendre dans le cadre du TPE.

On termine en comparant ces fréquences avec celles données par une loi de probabilité sur la variable aléatoire donnant le nombre de pas d’une marche au hasard.

L’application interactive (sous Processing) est présentée dans un premier article : Simulation aléatoire – loi de probabilité.

Le compte rendu :

L’énoncé de l’activité :

Où il est possible de définir la grammaire, les règles et l’axiome de départ. La définition d’un tel système et l’utilisation de l’interface seront développées dans une version définitive de l’application interactive.

La page interactive est à tester ici : Application interactive.

Quelques images.

La démarche utilisée est relativement classique :

• La première partie de l’activité se concentre sur la simulation d’ échantillons de cette expérience. La calculatrice permet d’abord de construire quelques marches aléatoires par différents groupes. La mise en commun des résultats obtenus donne ensuite un échantillon de plus grande taille. La simulation doit respecter les règles suivies par les marches aléatoires considérées. Dans cette partie, chacun est amené à comprendre et à savoir mettre en oeuvre un algorithme présenté dans l’énoncé.

• Dans la deuxième partie, l’utilisation d’une application informatique (sous Processing) permet d’étudier des échantillons de très grandes tailles. Il est alors possible d’observer la fluctuation d’échantillonnage des fréquences obtenues sur le nombre de pas. Plusieurs conjectures sont alors demandées.

• La troisième partie se consacre à l’élaboration théorique d’une loi de probabilité sur le nombre de pas. L’utilisation simultanée de l’application créée et d’un arbre de probabilité pondéré (relativement complexe) permet de mener ce travail de manière constructive. Il reste enfin à comparer cette loi avec les valeurs des fréquences obtenues lors des simulations aléatoires.

L’application créée sous Processing peut-être utilisée en ligne ici.

La fiche d’énoncé est en téléchargement :

Dans le cas de l’oeil normal, l’image se forme correctement sur la rétine lorsque l’objet se trouve entre le Punctum remotum (à l’infini dans ce cas) et proximum.

L’accommodation se traduit par le foyer « variable » de la lentille convergente.

Deux cas sont possibles pour l’oeil myope : avec ou sans correction.

- Sans correction, l’accommodation est correcte entre le PR et le PP mais ne l’est plus pour un objet trop éloigné. L’image ne se forme donc plus sur la rétine (mais devant).

- La correction se fait par une lentille divergente.

L’animation GeoGebra présente les règles élémentaires d’optique géométrique à respecter pour cette modélisation. Son élaboration nécessite cependant de bien en comprendre les mécanismes.

Un travail constructif donc dans la mise en place d’un sujet de T.P.E de première.

La modélisation GeoGebra (image ci-dessous) est utilisable en ligne à cette adresse.

En voici l’introduction proposée par l’auteur (Bernard Prum) :

 » Nous proposons ici deux articles décrivant quelques aspects de l’emploi des mathématiques en génétique et génomique — évoquant donc des nouveaux problèmes que ces disciplines posent aux mathématiciens, appliqués comme fondamentaux.

Ce premier article se place avant la lecture des séquences d’ADN (le séquençage) et traite de l’héritabilité des caractères au niveau des individus ou des espèces. Le second (ici), parcourera les génomes à la recherche des gènes. »

Ce document est présenté ici comme piste ou idée de réflexion en T.P.E de premières S (Maths – SVT).

La première partie : Bernard Prum, Des mathématiques dans nos cellules ? URL :  http://images.math.cnrs.fr/Des-mathematiques-dans-nos.html

La deuxième partie : Bernard Prum, Des mathématiques dans nos cellules ? URL : http://images.math.cnrs.fr/Des-mathematiques-dans-nos,406.html

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A terme, il s’agit de profiter de cet outil interactif dans le cours de spécialité math de Terminale ES entre autre.

De nombreuses tâches sont en cours d’élaboration :

1. Coloration et algorithmes associés,
2. évolution des graphes de transition (probabilistes).
3. algorithme de connexité, de plus court chemin

Le mode de construction et celui de tracé de chemins permettent déjà de tester certaines fonctionnalités de l’environnement : utilisation de l’interface en ligne.

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